数学の解き方に対するQ&A
[GMAT数学完全攻略] 1.2 約数(Factors)
応用問題3
受講生の質問(1)
「本問はXを素因数分解した時の3の指数を求める問題である」までは、理解できます。
ただここからXに於ける３の指数を求める際に、何故3,6,9の倍数をカウントすることで指数を求めることができるのかが理解できません。
ジェイマス講師:J の回答(1)
本問はx=1×2×3×・・・・×49×50を素因数分解した時に3の何乗になるかの問題です。
“1”については明らかに素因数分解した際の3には関係ありません。
“2”についても 明らかに素因数分解した際の3には関係ありません。
“3”については、素因数分解した際にｘの3の指数を1増やすことに貢献します。
というように考えると、
1～50の3の倍数については、 素因数分解した際にｘの3の指数を増やすことに貢献します。
では、全ての3の倍数について ｘの3の指数を”1”だけ増やすのでしょうか？
6=2×3なので、 ｘの3の指数を”1”だけ増やします。
9=3^2なので、 ｘの3の指数を”2”増やすことになります。
12=2^2×3なので、 ｘの3の指数を”1”だけ増やします。
15=3×5 なので、 ｘの3の指数を”1”だけ増やします。
18=2×3^2なので、 ｘの3の指数を”2”増やすことになります。
(途中省略)
27=3^3なので、 ｘの3の指数を”3”増やすことになります。
これを見ると、
①3の倍数で9(=3^2)の倍数でないものは ｘの3の指数を”1”だけ増やす。
②9の倍数で27(=3^3)の倍数でないものは ｘの3の指数を”2”だけ増やす。
③27の倍数で81(=3^4)の倍数 (1～50には存在しない) でないものは ｘの3の指数を”3”だけ増やす。
ということになります。
約数-応用問題5
受講生の質問
代入で回答を探す際、どこまでの数字を検討すれば良いのですか？
解き方自体は合っていたのですが、回答ステップ2における代入検証を4までしか行っておりませんでした。5まで検証しようという考えに至る背景が知りたいです。
ジェイマス講師:J の回答
もしp=4まで代入し、nが素数ばかりであれば、nが素数であることを証明する必要があります。これが現実的な時間でできる場合のみ、GMATで出題されますが、nが素数であることの証明は難易度が高いので、それであれば、pを根気よく代入しようという気になります。
ちなみに、pに0から順に代入しても、素数がしばらく続くような値nを作っており、本番よりやや難易度高めに作っています。
明らかにGMAT受験の範囲を超えますが、素数が無限個あることの証明は以下のように行われます。
- 素数が有限個だと仮定する
- 有限個の素数を全て掛け合わせ、それに１を足した値をXとおく。
- Xは有限個の素数で割ると必ず1余るので、Xは上記有限個の素数以外の素因数Ｙを持つか、Ｘ自身が素数。
- ③で出てきたＹまたはXは最初に仮定した有限個の素数の最大値より大きいので、素数が有限個であるという仮定が矛盾
このような証明は、素数ばかりが出てくるような式（本問で言うようなn）が知られていないということを意味しています。
[GMAT数学完全攻略] 1.4 最大公約数・最小公倍数 (GCD/LCM)
応用問題 2
受講生の質問(1)
上記の解説の中で連続する整数を m, m-1, m-2と表記するのは理解できるのですが、
(m-n+1)となるのはどういった意味でしょうか。指定されたN番目以上の数値ということかと思いますが、何故(m-n）で終えず、+1を考慮するのでしょうか?
ジェイマス講師:J の回答(1)
m!/(m-n)!を計算すると、(m-n+1)が出てきたものです。
m!=m×(m-1)×・・・・×(m-n+1)×(m-n)×(m-n-1)×・・・・・×2×1
(m-n)!=(m-n)×(m-n-1)×・・・・・×2×1
となるので、 m!=m×(m-1)×・・・・×(m-n+1)×(m-n)×(m-n-1)×・・・・・×2×1において、 (m-n)×(m-n-1)×・・・・・×2×1
分母分子で打ち消しあうので、 m!/(m-n)!= m×(m-1)×・・・・×(m-n+1)となります。
応用問題 3
受講生の質問(1)
“divisible by each from x through y” は、ｘからｙの全ての数字の公倍数なのでしょうか？
この問題の２つ目の条件からすると、Ａは少なくとも５×７×８×９を含む数字かと思いますので、
問題の４から８でそれぞれ割れるかという問いは、全て割りきれるのではないかと思いました。
ジェイマス講師:J の回答(1)
aが少なくとも５×７×８×９を含むというのは間違いです。
cが５×6×７×８×９で割り切れると勘違いしているのかと思います。
cは5, 6, 7, 8, 9のそれぞれで割り切れればよく、c÷5÷6÷7÷8÷9に割り切れる必要はありません。
cが5, 6, 7, 8, 9のそれぞれで割れるという条件を考えると、例えばcを素因数分解した場合に3の指数が最低いくらになれば良いかを考えます。
すると、5～9の整数の中で3の指数が最も大きい値は9=3^2となるので、3の指数は2で十分です。
cが５×6×７×８×９のように3の指数が3となる必要はありません。
[GMAT数学完全攻略] 1.7 余り(Remainders)
基礎事項のまとめ
受講生の質問(1)
「余りと倍数の利用」のパターンがすぐに頭から抜け落ちてしまいます。暗記と割り切って単純に覚えるしかないのでしょうか。
ジェイマス講師:J の回答(1)
パターンがどうしても頭に入らない場合は、パターン３でどの問題も解くと決めてしまっても大丈夫ですよ。1 or 2のパターンで解けるものを3のパターンで説いても最大10秒ロスするくらいかと思いますので、迷うくらいならそう割り切ってください。
確認問題1
受講生の質問(1)
除法の原理は、x/a=b余りcであり、x=ab+cとあると思います。
一方、この確認問題１ではm=9b+3/25nになっており、x=ab+cb⇒x=b(a+c)になっているかと存じます。この辺りがいまいち理解できず、ご解説頂けないでしょうか？
ジェイマス講師:J の回答(1)
x/a=b余りcの余りcというのは、aより小さい整数を表しています。m/n=9.12の0.12=3/25というのは整数でなく余りではありません。
m=9n+3/25nにおいて、c=3/25, b=nではなく、c=3/25nを表しています。
[GMAT数学完全攻略] 1.12 指数(Exponents)
基礎問題6（DS問題）
受講生の質問(1)
- (ステップ1) 「以上より、(s, t) = (2, 0), (1, 2) の両方に対してs^t=1が成立する。」とありますが、下線の箇所について、前者(s, t) = (2, 0)は場合分け①のことを指しており、t=0の時はs>1の任意の実数sで成立すると思いますが、ここであえてs=2と特定している理由は何でしょうか？同様に、後者(s, t) = (1, 2)は場合分け②のことを指しており、s=1の時は任意の実数tで成立すると思いますが、ここであえてt=2と特定している理由は何でしょうか？
- s, tは整数とありますが、s<1についての検証がされない理由は何でしょうか？
ジェイマス講師:J の回答(1)
s=2やt=2と特定している点についてですが、本問はs, tの値それぞれを特定できるかどうかが問われているわけではなく、s-tの値が特定できるかどうかが問われています。
特定できないと言い切るためには、s-tの値が2通り以上示す必要があり、s,t の値の組み合わせの具体例を作る必要があります。
s<1について検証をしていない点ですが、検証して頂いても構いませんが、全てを網羅的に調べる必要はなく、あくまでs-tの値が2通り以上出てくることをチェックできればそれでOKです。
[GMAT数学完全攻略] 2.4 二次方程式 (Quadratic Equations)
受講生の質問(1)
2.126）
解き進める中で、
…
（x+4)^2（x-4)^2＝(x+4)^2
（x-4)^2＝1（※)
x^2-8x+16=1
x^2-8x+15=0
(x-5)(x-3)=0
x=3,5
⇒こたえは8となり解答を選べなかったのですが、
※のように式を進めてはいけない理由を教えてください。
ジェイマス講師:J の回答(1)
両辺を(x+4)^2で割っているところが問題です。
式の両辺に同じ数を掛けたり、同じ数で割ったりしても良いのはその数がゼロでない場合のみです
両辺を(x+4)^2で割っているところで、前提条件として(x+4)^2≠0つまりx≠ -4という前提が入っています。しかし、x= -4の場合は別途考える必要があり、（x+4)^2（x-4)^2＝(x+4)^2の両辺ともにx= -4の場合はゼロになるので、等号が成立するのでx= -4も解の1つになります。
[GMAT数学完全攻略] 2.5 不等式(Inequalities)
具体値の代入と式の変形の使い分け
受講生の質問(1)
不等式の問題に関する全体的な質問なのですが、「具体値を代入するパターン」と「式を変形するパターン」はどのように使い分ければ良いのでしょうか？
特に「式を変形するパターン」で、具体値を代入しようとして時間がかかったり、間違えたりする傾向があります。
何かポイントがあれば、ご教示いただけますと幸いです。
ジェイマス講師:J の回答(1)
不等式の問題において、その不等式が必ず成立する、必ず成立しないということを言おうと思うと、必ず式変形でその不等式の成立・不成立を言う必要があります。
一方、その不等式が成立するか、成立しないかの判断ができない選択肢であれば、不等式が成立する場合と成立しない場合の具体例を求めるという手順となります。
ポイントとしては、不等式については極端な場合をいくつかピックアップし、検討をつけ、上記の方針を行うと効率よくいく場合が多いです。
基礎問題3
Ⅱは、3/2（=1.5）＜x＜3で、問題の不等式を整理した2/3＜x＜2の範囲に重なっていないような気がします。
本問のポイントは問題文のcould beです。
問題の不等式を整理した2/3＜x＜2の範囲で選択肢の範囲が成立し得るｘが存在するかどうかが問われています。
つまり,問題の不等式を整理した2/3＜x＜2の範囲と少しでも重なりがある選択肢を選べばよいです。
ちなみに、must be問題なので問題文の不等式のxに対し、どのようなｘでも必ず選択肢の不等式が正しくなる選択肢を選ばなければならないので、選択肢の範囲が問題文の範囲を完全に含んでいるものを選ばなければいけません。
これらの比較を通して、could beとmust beの違いを理解してください。
[GMAT数学完全攻略] 3.7 立体(Solids)
応用問題1
受講生の質問(1)
問題文に”A rectangular steel container has three equal dimensions”とあるのですが、rectangular containerなのにhas three equal dimensionsという状況はありえるのでしょうか？GMAT特有の表現でしょうか？
ジェイマス講師:J の回答(1)
日本語の場合でも同じですが、立方体(cubic)は直方体(rectangular)の三辺が同じ特殊な場合という認識です。つまり、直方体というのは三辺が同じ長さではないという概念は含んでいません。
直方体の定義は、「すべての面が長方形で構成される六面体」であり、正方形も長方形の特殊な場合として、長方形の概念に包含されます。
同様に、ひし形は平行四辺形に含まれますし、円は楕円に含まれることになります。
応用問題５（DS問題）
受講生の質問(1)
条件式が2(xy+yz+zx)=148 と xy=24 の2つだけなので、x, y, zが実数のもとでは、3変数が決まらないことから、xyzの値は決まらない。とすると、考えに漏れがありますでしょうか？
x, y, zが整数というような条件がある場合には、xyの値から組み合わせを検討すると、もしかするとxyzが一意に定まる可能性もあるかもしれないと考え、2つくらい具体例で検証するステップへ進むことも必要であると思いましたが、本番であれば、上記の考えで具体的に検証せず不十分と判断してしまって良いのか否かという疑問です。
ジェイマス講師:J の回答(1)
2つしか式が無いからx, y, zの3変数を求める事ができないという考え方はあっております。ただし、それは、x, y, zのそれぞれの値を特定できないというだけで、xyzの値が特定できないという事ではありません。
例えば、
x+yz=3
x+2yz=5
という式があった場合に、2つの式しかないので、x, y, zの3変数を特定することはできませんが、x=1, yz=2という所まで求めることはできるので、xyz=2と値を確定することはできます。
2
ただし、本番では、その判断で問題を解き進めることもありだと思います。
[GMAT数学完全攻略] 4.1 場合の数(Combinatorics)
基礎問題2(PS問題)
受講生の質問(1)
この場合、2組のチームをつくる場合の数と理解しているのですが、これがなぜ9C2(9個の中から、2つを選ぶ場合の数)で計算できるのか理解ができません。なぜ2つを選ぶ、で、2組のチームの作り方がわかるのでしょうか？
また、総当たり戦と考えたときには、この場合、9つのチームが総当たりする場合の数はどうなりましたでしょうか。
ジェイマス講師:J の回答(1)
まず大前提として、（英辞郎で「tournament」という単語を調べて頂ければ分かると思いますが）tournamentという英単語は優勝者を決める一連の試合を表すのであって、勝ち抜き試合(トーナメント方式)の事を意味していません。
本問において、「それぞれのチームは他のチームと1回だけ対戦するとする」とtournamentの説明があり、これはいわゆる総当たり戦のことを言っております。
総当たり戦ということは、9個の異なるチームがそれぞれ違う相手と1回ずつ対戦することであるので、9個のチームから2つのチームを選ぶ全ての組み合わせの数だけ試合を行うという事と同じ意味であることが分かります。
ちなみに、あなたが想像しているトーナメント方式（勝ち抜き試合）の試合数の数え方ですが、1回試合を行う事で1つのチームが負けていくことになります。そして、最後に1度も負けていないチームが優勝チームとなります。
よって、9つのチームで勝ち抜き試合を行う場合には、8個のチームが負けて、1つのチームが優勝することとなるので、８試合行う事となります。
[GMAT数学完全攻略] 4.3 平均値(Average/Mean)
平均値-確認問題5
受講生の質問(1)
(4.91)
対象が3つありますが、これも天秤の図を使って解いたのですが、これは使っても問題ないのでしょうか？
$18 –2冊
$26 -4冊
$30 -Ⓧ冊
$26の4冊は平均と等しいのでおいておいて、
2×18＝30xⓍ
Ⓧ=4
上記のように対象が3つの場合、天秤を使って解くことはできるのでしょうか？（その場合、平均が26でなかった場合の解き方を教えていただけるとありがたいです）
上記はたまたまあっていたと捉えたほうがいいのでしょうか？
ジェイマス講師:J の回答(1)
３つ以上の場合であったとしても天秤図で解くことはできます。
天秤の中心(平均)から左側にあるものの距離と重みの和は右側にあるものの距離と重みの和に等しくなります。
ただし、平均が分からない場合など、左側にあるのか、右側にあるのかが分からない場合もあって余り実践的ではないので、153つ以上の場合は天秤図で考えるメリットはないと考えて頂いた方が良いと思います。
[GMAT数学完全攻略] 4.4 他の統計量(Other Statistics)
応用問題2（DS問題）
受講生の質問(1)
「次に、nが奇数のとき、n個の整数の中央値～」以下の計算が分かりません。a-1+m を a-1+(n+1)/2 に変換していると思うのですが、(n+1)/2がどこから出てきたのかが分かりません。
ジェイマス講師:J の回答(1)
nが奇数の時、n個の整数の中央値は何番目の値となるかを考えてみましょう。
例えば、n=3の場合、小さい値から2番目がちょうど真ん中の数になります。
また、n=5の場合、小さい値から3番目がちょうど真ん中の数になります。
このように、nが奇数の時、小さい値から(n+1)/2番目の値がちょうど真ん中の値となります。
(n個の値があるので、1番目とn番目の平均である(n+1)/2番目がちょうど真ん中の値となると考えれば良いでしょう。)
m番目の値がa-1+mであるので、中央値である (n+1)/2番目の値はa-1+ (n+1)/2となります。
[GMAT数学完全攻略] 5.4 数列(Sequences)
応用問題1(PS問題)
受講生の質問(1)
英文の解釈がいつもわからなくなるのですが、equal to the sum of the preceding term とは、前項の1つだけではなくて、G10項目であれば、G１～G9 項目を全て足す、と理解してしまいました。
このような条件式の問題もあると思うのですが、前項１つだけと、その前の項すべてを足し合わせる、に関して、英文で確実に見分ける方法はありますでしょうか。
ジェイマス講師:J の回答(1)
equal to the sum of the preceding termという設問を読む際には名詞の単複は常に気にしてください。termsでは無く、termとある以上、直前の1項と解釈すべきです。
問題文が仮にtermsという複数形であるなら、問題の曖昧さを避けるために直前の項全てなのか、直前の2項なのかというように特定する説明が必ず入ると思います。
[GMAT数学完全攻略] 5.5 収入・利益 (Revenue/Profit)
基礎問題2(PS問題)
受講生の質問(1)
EA受験のため勉強を進めていますが、元々文系なので数学が苦手です。
ですが、テキストの説明がとても分かりやすく、理解できると楽しいです。
この問題では、利益＝売値ーコストに当てはめて考え、売値が15%上がるので、コストが同じなら、利益も同じように上がると、思ってしまい、間違えてしまいました。
解説を読んでもまだよく理解できていないので、教えて下さい。
ジェイマス講師:J の回答(1)
利益=売値-コストです。
売値もコストも15%上昇したとすると、上昇前の売値－上昇前のコスト＝上昇前の利益となるので、
1.15×上昇前の売値－1.15×上昇前のコスト=1.15×(上昇前の売値－上昇前のコスト)=1.15×上昇前の利益と利益に関しても15%上昇していることが分かります。
一方、今回は売値のみが15%上昇しているので、利益が15%上昇しているとはなりません。
解説で例を挙げているように、売値が1150ドル、1000ドルと15%違っていたとしても、
コストが500ドルの時は利益は650ドル、500ドルとなるように30%の差異が生じています。
同様にコストが900ドルの時には利益が250ドルよ100ドルとなるように150%の差がついてしまっています。
売値の差異は1150ドルと1000ドルの差の150ドルで固定されているので、コストが同じ場合、利益の差は150ドルとなりますが利益水準がコストにより上下するので、利益の比率を考えた場合にはCブランドの利益である分母の数字が大きく異なるので利益の比率は大きく異なることになります。
[GMAT数学完全攻略] 5.8 混合(Mixture)
食塩の混合問題
受講生の質問(1)
塩の濃度計算の天秤図のロジックを教えて頂きたいです。
９％+（15％ー９％）×１/２+１の計算がなぜこの式になるのかが理解ができませんでした。
ジェイマス講師:J の回答(1)
天秤図の原理は理解していることを前提に話をすると、9%の食塩水400gと15%の食塩水200gつまり、2:1で混ぜ合わせるので、混合液は9%と15%を1:2で内分する点になります。
9%を起点にして考えると、15%は9%より15-9=6%天秤図では右にあります。
よって、9%と15%を1:2で内分する点は、9%から起算して、15-9=6%を1+2=3に分けたうちの1の量、つまり6×1/3=2だけ右にあることになります。よって、9%+2%=11%が求める値となります。
これを一気に書いた式がテキストの表記となります。
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